Кватернионы.

Как сделать из точек числа?

    Если речь идет о точках на прямой – это просто. Выбрав начало отсчета и масштабс направлением, можно получить из прямой числовую ось и тем самым превратитькаждую точку в действительное число – ее координату.

    С точками на плоскости сложнее. Выбираем две оси и начало отсчета. Для каждойточки плоскости сопоставляем ее координаты (x;  y). Эта парабудет называться дуплетом. Чтобы сделать дуплет числом, нужнонаучиться “складывать” и “умножать” их в соответствии со свойствами сложения иумножения.

    Дуплеты складываются как векторы – покоординатно:

(x; y) + (x’; y’) = (x + x’; y + y’). (1)

Дляумножения существует иная формула:

(x; y)  (x’; y’) = (xx’ -  yy’; xy’ + x’y). (2)

Умножениеи сложение (1), (2) дуплетов подчиняются привычным свойствам сложения иумножения. Следовательно, множество дуплетов с операциями (1), (2) можносчитать полноценным числовым множеством.

    На самом деле дуплеты – это комплексные числа. Их записывают так:x + yi, где i –мнимая единица (дуплет (0; 1)). Ее квадрат равен . Это позволяетизвлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

    Но встает проблема превращения точек пространства в числа.Здесь снова введем систему координат и запишем точки в виде набора уже трехкоординат (x; y; z). Эти так называемые триплеты тожескладываются покоординатно:

(x; y; z) + (x’; y’; z’) = (x + x’; y + y’; z + z’). (3)

Триплетыможно будет считать числами, если научиться их умножать, обладая, вместе сосвойствами сложения, обычными способами умножения этих операций.

    В 1833 г. умножением триплетов занимался ирландский математик У. Р.  Гамильтон(1805 – 1865). О нем мы расскажем особо.

Уильям Роуан Гамильтон